Exercícios sobre sistemas lineares

(CUIABÁ) O par (a ; b) é solução do sistema$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,-\,2y\,=\,14\;\;\;\;&\\2x\,+\,y\,=\,-22\;& \\ \end{array}\right.\;$então:

$a^{\large b}\,<\,0$

$a\,+\,b\,=\,16$

$ab\,<\,0$

$a\,+\,b\,<\,0$

${\large \frac{a}{b}}\;\;$ é inteiro

resposta: alternativa D
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(UF VIÇOSA) A solução do sistema $\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} 2x\,-\,y\,=\,3\phantom{X}& \\ x\,+\,y\,=\,3\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\phantom{X}$ é:

x = 0 e y = 1

x = 1 e y = 2

x = 1 e y = 1

x = 1 e y = 0

x = 2 e y = 1

resposta: alternativa E
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(FUVEST - 2015) No sistema linear $\,\left\{\begin{array}{rcr} ax\,-\,y\,=\,1\;& \\ y\,+\,z\,=\,1\;& \\x\,+\,z\,=\,m& \\ \end{array} \right. \,$, nas variáveis $\,x, y\,$ e $\,z\,$,
$\,a\,$ e $\,m\,$ são constantes e reais. É correto afirmar:

No caso em que $\,a\,=\,1\,$, o sistema tem solução se, e somente se, $\,m\,=\,2\,$.

O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de $\,a\,$ e de $\,m\,$.

No caso em que $\,m\,=\,2\,$, o sistema tem solução se, e somente se, $\,a\,=\,1\,$.

O sistema só tem solução se $\,a\,=\,m\,=\,1\,$.

O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de $\,a\,$ e de $\,m\,$.

resposta: Alternativa A
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Resolver pela "regra de Cramer" o sistema:$\,\left\{\begin{array}{rcr} \;\;x\,+\phantom{X}y\,+\,2z\,=\,9\;& \\ \;\;x\,+\;2y\,+\,\;\;z\,=\,8\;& \\ 2x\,+\phantom{X}y\,+\;\;z\,=\,7\;& \\ \end{array} \right.\,$

resposta:

Resolução:
Passo 1:
Calcular o valor do determinante D da matriz 3x3 formada pelos coeficientes de x, y e z
$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\; \\ 1 & 2 & 1 \; \\ 2 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
Passo 2:
2a. Calcular o valor do determinante D_x da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de x por uma coluna com os termos independentes
$\;D_x\;=\,\begin{vmatrix} 9 & 1 & 2\; \\ 8 & 2 & 1 \; \\ 7 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
2b. Calcular o valor do determinante D_y da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de y por uma coluna com os termos independentes
$\;D_y\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 9 & 2\; \\ 1 & 8 & 1 \; \\ 2 & 7 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-8$
2c. Calcular o valor do determinante D_z da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de z por uma coluna com os termos independentes
$\;D_z\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 9\; \\ 2 & 2 & 8 \; \\ 2 & 1 & 7 \;\end{vmatrix}\;=\;-12$
Passo 3:

(calcular x)

$\;x\,=\,\dfrac{D_x}{D}\,=\,\dfrac{-4}{-4}\,=\,1\;$

(calcular y)

$\;y\,=\,\dfrac{D_y}{D}\,=\,\dfrac{-8}{-4}\,=\,2\;$

(calcular z)

$\;z\,=\,\dfrac{D_z}{D}\,=\,\dfrac{-12}{-4}\,=\,3\;$

V = {(1, 2, 3)}

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Resolver o sistema:$\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} \;\dfrac{1}{x}\,+\,\dfrac{1}{y}\,-\,\dfrac{1}{z}\,=\,\phantom{X}4\;& \\ \;\dfrac{2}{x}\,-\,\dfrac{1}{y}\,+\,\dfrac{3}{z}\,=\,-3\;& \\ \; \dfrac{1}{x}\,+\,\dfrac{2}{y}\,+\,\dfrac{4}{z}\,=\,\phantom{X}1\;& \\ \end{array} \right.\,$

resposta:

Resolução:
Vamos fazer $\;p\,=\,\dfrac{1}{x}\;$, $\;q\,=\,\dfrac{1}{y}\;$ e $\;r\,=\,\dfrac{1}{z}\;$ e a seguir utilizar a Regra de Cramer.
Então temos o sistema:$\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} \;p\;+\;q\;-\phantom{X}r\,=\phantom{X}4\;& \\ 2p\,-\;q\;+\,3r\,=\,-3\,& \\ \;p\;+\;2q\,+\,4r\,=\phantom{X}1\,& \\ \end{array} \right.\,$
● Calcular o valor do determinante D
$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\; \\ 2 & -1 & 3 \; \\ 1 & 2 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-20$
● Calcular o valor do determinante D_p
$\;D_p\;=\,\begin{vmatrix} 4 & 1 & -1\; \\ -3 & -1 & 3 \; \\ 1 & 2 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-20$
● Calcular o valor do determinante D_q
$\;D_q\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1\; \\ 2 & -3 & 3 \; \\ 1 & 1 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-40$
● Calcular o valor do determinante D_r
$\;D_r\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4\; \\ 2 & -1 & -3 \; \\ 1 & 2 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;20$

(calcular x)

$\;p\,=\,\dfrac{D_p}{D}\,=\,\dfrac{-20}{-20}\,=\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\;x\,=\,\dfrac{1}{p}\,=\,1\;}$

(calcular y)

$\;q\,=\,\dfrac{D_q}{D}\,=\,\dfrac{-40}{-20}\,=\,2\;\Rightarrow\;\boxed{\;y\,=\,\dfrac{1}{q}\,=\,\dfrac{1}{2}\;}$

(calcular r)

$\;r\,=\,\dfrac{D_r}{D}\,=\,\dfrac{20}{-20}\,=\,-1\;\Rightarrow\;\boxed{\;z\,=\,\dfrac{1}{r}\,=\,-1\;}$

V = {(1, 1/2 , -1)}

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Sendo $\phantom{X}a\,\neq\,c\;$, $\phantom{X}a\,\neq\,b\phantom{X}$ e $\phantom{X}b\,\neq\,c\;$, resolver o sistema:$\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} \;x\;+\;y\;+\;z\phantom{X}=\,\phantom{X}0& \\ \;ax\,+\,by\,+\,cz\phantom{X}=\phantom{X}0 & \\ \; a^{\large 2}x\,+\,b^{\large 2}y\,+\,c^{\large 2}z\phantom{X}=\;& \,(c\,-\,a)(b\,-\,a)(c\,-\,b) \\ \end{array} \right.\,$

resposta: V = {(c - b; a - c; b - a)}

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(FUVEST - 2019) Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é:

resposta: Alternativa C

Resolução:

1. Vamos chamar de f o número de filhos fêmeas e m o número de filhos machos.

2. O número de irmãs fêmeas de cada filha é igual a (f - 1) , pois ninguém é irmã de si mesma.
O número de irmãos machos de cada filha é m.

Então "o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos" podemos escrever da seguinte forma: $\;f\,-\,1\,=\,\dfrac{m}{2}\;$.

3. O número de irmãos machos de cada filho é (m - 1) pois, como já foi dito, ninguém é irmão de si mesmo. O número de irmãs fêmeas de cada filho é f .

Então "Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs" pode ser traduzido assim: $\;m\,-\,1\,=\,f\;$.

4. $\;\left\{\begin{array}{rcr} f\,-\,1\,=\,\dfrac{m}{2}\;& \\ m\,-\,1\,=\,f\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow $ $\;\left\{\begin{array}{rcr} 2f\,-\,m\,=\,2\phantom{XX}(I)& \\ -f\,+\,m\,=\,1\;\phantom{X}(II)& \\ \end{array} \right.$

Somando (I) e (II) temos que $\;\boxed{f\,=\,3}\;$

Substituindo $\;f\,=\,3\;$ em (II) temos $\phantom{X}-3\,+\,m\,=\,1\;\Rightarrow\;\boxed{m\,=\,4}\;$

O número total de filhos é (f + m) = 3 + 4 = 7

Determinar o conjunto solução do sistema $\,\left\{\begin{array}{rcr} 4x\,+\,10y\,=\,2\phantom{X} & \\ -3x\,-\,2y\,=\,4\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$

resposta: S = {-2; 1}
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